集合论

集合论（英文：set theory）是基础性的数学分支。是研究一般集合的大小、结构及集合之间的关系、运算，讨论集合的计数、排序的方法以及建立各种无穷集的理论。

与集合理论有关的很多概念是早已有的，但集合论的正式创立却是起因于对无穷集讨论的数学内部需要。集合论的发展经历了两个较明显的阶段：一般将主要在集合论公理出现以前，由康托尔等数学家建立的集合论的基本理论称为古典集合论或康托尔集合论；而对于现代从集合论公理出发，主要研究集合论的基础问题的有关内容，则称为公理集合论或朴素集合论。

集合的思想可以追溯至古希腊的原子论学派，他们把直线看成一些原子的排列。在中世纪，已有人注意到如果从两个同心圆的中心出发作射线，那么这些射线就在两个圆周上的点之间建立了一一对应，然而两圆周的长度是不相等的。到了16世纪，伽利略·伽利莱（Galileo Galilei）发现正整数可以同正整数的平方构成一一对应。当时无穷集合的这一性质被看成与“整体大于部分”这一公理相悖，后被称为伽利略悖论。

伽利略

19世纪初期，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。此时期，在傅里叶（Fourier）、波恩哈德·黎曼（Riemann）等人的研究中，已出现由具有某些共同性质的点或函数构成的集合，但这种思想并未得到进一步发展。直到1851年，波尔查诺在其著作《无穷悖论》中，肯定了实无穷的存在，并提出了集合等价的概念。此外，波尔查诺还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。1870年，康托尔开始研究函数的三角级数表示的惟一性问题，他用两年的时间将三角级数展开的惟一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况。康托尔把函数间断点问题的研究过渡到对点集本身的研究，明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由实数构成复杂的集合。1873年，康托尔已成功证明实数集是不可数的。

波尔查诺

1874年，康托尔发表论文《论所有实代数数Z的一个性质》，在此论文中，康托尔提出了对角线方法。同年，康托尔提出集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”此后，学界认识到集合是一个原始的概念，而不能用其他概念来定义，而只能加以描述或说明。这标志着集合首次成了明确独立的数学研究对象，集合论这个新的数学学科从此诞生。

1870年的康托尔

自集合的概念出现后，可以进一步定义集合的子集、幂集、交集、并集、笛卡儿积、关系、映射等一系列概念。并由此发展了集合的各种理论。康托尔除了提出集合的定义外，还成功使用一一对应的方法来比较无穷集合的大小。揭示了无穷集合与有穷集合本质的区别：部分可以等价于全体，他断言无穷集合也是客观上的实体。1878年开始，康托尔把势（基数）定义为等势集合的共同属性，并给出了自然数集的势的符号以及实数集的势的符号。同时，康托尔提出了连续统假设。1883年，康托尔证明了康托尔定理，即任何一个集合的势都小于它的幂集的势，这揭示了“无穷”有无穷多个不同的层次。从1883年起，康托尔研究有序集，利用良序概念建立序数理论，把数学归纳法推广为更一般的超限归纳法。1895年和1897年，康托尔发表题为《关于超穷集合论的基础》的论文，给出了超限基数和超限序数的定义，引进了符号，并把它们按序型的大小排列成序列，定义了基数和序数的加法、乘法及乘方运算，讨论了各自的算术理论，即集合论的基数理论和序数理论。至此，康托尔完成了集合论的基本内容。

康托尔

在集合论逐渐发展时，集合论内部接连出现了矛盾，例如1897年的布拉利·福尔蒂悖论，1899年的康托尔悖论以及1902年的罗素悖论。经过研究发现产生悖论的原因首先在于集合的概念过于一般，把无论“多么大的总体”都当作集合必将导致种种矛盾；其次，使用一些含糊的自然语言从而导致概念不确切也是引起矛盾的原因之一。因此，必须用公理化方法对集合的概念予以合理的限制，并且要有一套简明、确切的形式语言来表达这些公理。这些悖论给集合论带来的困难，促进了数学家用公理化方法和数理逻辑工具去重建集合论。

罗素

1908年，数学恩斯特·策梅洛（Zermelo,E.F.F.）给出了第一个公理系统，后经过米里马诺夫（Mirimanov,D.）、弗伦克尔（Fraenkel,A.A.）的补充，最后经冯·诺伊曼（von Neumann,J.）将这些公理形式化，得到现今通用的策梅洛-弗兰克尔公理系统，简称ZF系统。该系统可以导出康托尔集合论里几乎所有结果，并排除已知的悖论。另外，还有两个集合论公理系统：1925年至1940年形成的冯·诺伊曼-贝尔奈斯-哥德尔系统与1955提出的凯莱-莫尔斯系统。目前普遍采用的是ZFC系统，即在ZF系统中添加选择公理。20世纪以来，集合论得到了进一步发展。它以古典集合论中遗留的两个主要问题连续统假设（CH）和选择公理（AC）作为主要研究对象，并且获得了突破性的进展。1940年，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）证明了选择公理和连续统假设相对于ZF系统的相容性。1963年，沃尔特·科恩（Cohen,P.J.）用他发明的力迫法证明了选择公理和连续统假设相对于ZF系统的独立性。上述连续统假设的不可判定性意味着可以同时并存两种集合论（CH的和CH不成立的），恰如欧氏几何与非欧几何那样。这是由于形式系统方法有局限性所导致的。集合论在所谓的现代数学的发展中起过不小的作用，事实上，可以说是现代数学的各个分支的基础。

策梅洛

集合论在数学中占有独特的地位。因其他学科对集合论的相容性，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分支的研究对象，或者本身是具有某些特定结构的集合，如群、环、拓扑空间；或者是可以通过集合来定义的东西，如自然数、实数、函数。伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Russell,B.A.W.）和怀特海（Whitehead,A.N.）在《数学原理》一书中，从逻辑演算出发，结合集合论的选择公理和无穷公理，便把当时的数学严格地推导了出来。因此，可以把整个数学看做是集合论加逻辑。若不计逻辑，则数学（不计范畴论）就归结于集合论，数学的一致性就归结于集合论的一致性。现代数学的所有分支几乎都按集合论的观点加以描述和改造。

集合

集合（set）是集合论的主要研究对象，是一个不加定义的原始概念。一般地，具有某种属性或按照某一法则进行研究的事物或对象的全体称为集合，构成集合的事物或对象称为集合的元素或简称元，集合通常简称为集。

通常用大写拉丁字母

表示集合，用小写拉丁字母

表示集合中的元素。若

是集合

的元素，则称

属于

记为

若

不是集合

的元素，记为

如果一个集合

是由无限多个元素组成，则称

是无限集。若

是由有限多个元素组成，则称

是有限集。不包含任何元素的集合称为空集，记为

常见的集合除空集外，还有全集、子集、补集、正则集、幂集等。

类

类（class）是指具有某一性质

（或条件）的对象

的全体。通常可表示为

即可用概括原则确定的集体。从数学角度出发，类可分为两种：一种是集合；另一种不是集合，称为固有类或真类。集合的全体、序数的全体等都是固有类。

集族

集族是以集合为元素的集合称为集族。例如，集

的幂集

是一个集族。

都是集族。取

为标号集，

到集族

的一一对应（双射）为

则集族

可记为

当

为线性序集

时，集族

称为集列。

集合的运算

集合的运算是指集合的交、并、差、补等运算的统称，是由已知集合构造新集合的一种规则。设

为一个集族，映射

为集族的一元运算，映射

为集族的二元运算。对于全集

的幂集合

常讨论的运算有补运算、交运算、并运算、减运算、对称差、叉运算。通过这些运算可以得出集合的并集、交集、差集、叉集等。

关系，常指二元关系，任一序偶的集合

称为一个二元关系。

中任一序偶

可记为

称对象

与

为有关系

不在

中的任一序偶

可记为相容关系

两个关系有可能同时成立，或表示关系的两个集合的交不空。若对关系

与

存在

则称

与

是相容的。反之，若不存在

即对任何

与

不能同真，则称关系

与

是不相容的。例如，直线的平行关系与垂直关系是不相容的，而直线的相交关系与垂直关系是相容的。从集合运算的角度看，关系

和

相容，即等价关系

等价关系是指集合

上自反的、对称的与传递的二元关系。例如，数的相等关系、三角形的相似关系与全等关系、集合的对等关系等都是相应集合（族）上的等价关系。集合

上等价关系

所应满足的三个条件是独立的。

商集关系

商集是指由集合和该集合上的等价关系导出的集合。设

是集合

上的等价关系，则由所有

确定的等价类

组成的集合称为

关于

的商集。记为

即

利用选择公理，在

的每个元素

称为等价类

的代表，而

称为商集的代表集。

对应关系

如果集合

是集合

与

的直积的子集

则三元组

称为集合

到集合

的对应，

称为对应

的始集（或前域），

称为

的终集（或后域），

是

的图像。

笛卡尔乘积

集合的笛卡儿乘积亦称集合的直积，是指一种特殊的集合。由集合

的元素

与集合

的元素

作成的所有序偶

组成的集合

称为

与

的笛卡儿乘积或

与

直积，记为

可用符号表述为：

设

和

是两个抽象的集合，如果对

中的每一个元素

,在某个法则

的作用下，总有

中的唯一一个

和这个

对应，我们就称

是

到

的映射，记作

当

及

是实数集或复数集时，映射

就是通常的函数，因此映射实际上就是一种对应关系。

集合的映射象

集合的映射象是指一个特定的集合，将映射限制在某一子集上时，该映射的陪域。给定映射

设

集合

称为集合

在映射

下的全象集，简称

的象。

集合的映射逆象

集合的映射逆象是指一个特定的集合，对于

的映射，

的子集元素的原象集合。给定映射

设

集合

称为集合

在映射

下的全逆象，简称逆象，记为

序数

序数是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广，其概念是建立在良序集概念之上的。序数被康托尔定义为良序集的序型，而良序集

的序型

作为从

的结构属性抽象出来的结果，是所有与集

同构的一切良序集的共同特征，即

但并不完善，后经过冯·诺伊曼的修正，将序数定义为满足下述条件的良序集

对于一切

这里

称为良序集

中由

生成的初始段。集

称为归纳集，如果

以及只要

就有

的一切归纳子集之交

是自然数集。它是最小的归纳集。

是良序的，且对任何

都有

所以

是序数，记为

自然数集

的每个元素

都是序数，称为有限序数。其他序数称为超穷序数，

是最小的超穷序数。

基数

基数亦称势，是集合中所含元素个数的一种表征，是日常用以表示事物多少的数（即自然数）的概念的推广和发展。康托尔认为基数

是一切与

有等势关系的集都具有的共同特征，是对

的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果。此外，康托尔还提出了连续统假设，即实数集与它的每个不可数子集等势。同时，康托尔证明了康托尔定理，即任何集合的基数小于它的幂集合的基数。冯·诺伊曼将基数的定义进行了完善，他建议用一个特殊的与

等势的集，即所有与

等势的序数中最小的一个作为

的基数，定义如下：若

是一序数，对于任何序数

若

则

这样的序数

称为初始序数或基数。根据选择公理，可以证明对于任何集合

使

的基数

是惟一存在的，这个

称为集合

的基数。

两个集合

与

具有相同基数，当且仅当

所有基数组成的类记为card.每个自然数都是初始序数，所以自然数都是基数。以自然数为基数的集合称为有限集，否则称为无限集。

悖论是集合论的一类自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定成立。反之，如果承认这个命题的否定成立，又可推出这个命题自身成立。1900年前后，在集合论中发现了三个著名的悖论：布拉利·福尔蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论。

布拉利·福尔蒂悖论亦称最大序数悖论，是集合论历史上的第一个悖论。设

为一切序数组成的集合，即

可以看出

按自然数大小顺序成一良序集，故由

中有一序数

必比

中任一序数都大。但由定义知，

也出现在

中，从而将有

而这是矛盾的。1897年，布拉利·福尔蒂在意大利巴洛摩数学会上提出了上述悖论。

康托尔悖论是康托尔于1899年发现的集合论悖论。设

是一切集合组成的集合，考虑

的势

因任何集合都是

的子集，固不存在其势大于

的集合，但由康托尔定理可知，

的幂集

的势

大于

这存在矛盾。

罗素悖论是罗素于1902年发现的一个集合论吧悖论。设

即

为一切不属于自身的集合所组成的集合。在经典集合论中这样的

是合法的。问：

是否属于

若

由

的定义推出

若

由

的定义推出

罗素认为这也是矛盾的。

集合论本身含有矛盾的事实引发了第三次数学危机，这些悖论给集合论带来的困难，促进了数学家用公理化方法和数理逻辑工具去重建集合论。1908年，数学家策梅洛给出了第一个公理系统，后经过米里马诺夫、弗伦克尔的补充，最后经冯·诺伊曼将这些公理形式化，得到现今通用的策梅洛-弗兰克尔公理系统，简称ZF系统。此外，冯·诺伊曼于1925年提出了另外一个系统，后经贝尔奈斯和哥德尔的修改，形成了GB系统。

ZF系统是康托尔集合论方法的形式化处理。它的原始概念是集合和属于关系。这一系统包括九条公理：外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理、替换公理、正则公理。在ZF系统中添加选择公理而得到的系统称为ZFC系统，该系统是数学中使用最广泛的系统。

GB系统有集合与类两个基本概念。用小写英文字母

作为集合变元，用大写英文字母

作为类变元。此外，

与

分别表示

是一类与

是一集合。这个公理系统的特点是没有公理模式，因此它是一有穷公理系统。并且它规定真类不能作为类的元素，从而避免了以往的悖论。该系统的公理有五组，如下表：

组别	概述
A组公理	（任意集合x都是类）
	（类的任意元都是集合）
	（类的外延公理）
	无序对公理
B组公理（类的存在公理）	存在一类 它的元素都是有序对集合，并且该有序对的第一元属于第二元
	对于任意类 都有一类 它为 和 的交类
	对于任意类 它的补也是一类
	对于任意类 它的元素中有序对的第一元组成一类
	对于任意类 它的元作为有序对的第一元，而第二元为任意的集合。所有这些有序对组成一类
	对于任意类 它的逆 也是一类
	对于类 存在类 使得对任意 当且仅当
	对于类 存在类 使得对任意 当且仅当
C组公理（集合存在公理）	无穷公理、并集公理、幂集公理、替换公理
D组公理	对于任意的不空类 都有 使得
E组公理	选择公理
参考资料：

组合集合论亦称无穷组合论，是公理集合论的重要分支之一。它主要研究无穷集合的各种组合性质，最初的研究来源于有穷组合论中各种组合性质在无穷集合上的推广，如基数的运算、枚举原则、分离性理论、分划演算以及对无穷树的研究等。随着公理集合论的发展，特别是可构造性理论、力迫法的产生，组合集合论也产生了自身特有的问题，如大基数的组合性质、组合原则等均是组合集合论的研究内容。

研究基数的各种运算，共尾数、正规基数、奇异基数的性质、基数的闭无界子集、驻集的性质等，这些理论是组合集合论研究的基础。

组合集合论中，把某些具有重要意义且与ZF(C)系统相容的组合论命题称为组合原则。组合原则一方面为解决许多重要的数学问题，如苏斯林假设、库雷巴假设等以及为拓扑学中的重要问题提供了一种有力工具，另一方面也促进了可构造性理论、大基数理论、力迫法的发展。

描述集合论是集合论的一种形式和方法。描述集合论处理可用一些简单方法描述的实数集合，即有简单拓扑结构的或可用简单方法定义的集合。因为有些问题对任意实数集难于回答，但对有简单描述的集合问题变得容易得多。

大基数公理是断定某无穷基数存在的公理，同时依照断定的大基数是否弱于或强于可测基数划分“小的大基数公理”和“大的大基数公理”。该公理断定不可达基数的存在，即“

是不可达的，当且仅当

是正则且强极限基数：如果

那么

”由此可以得到，“

是不可达的，当且仅当

是ZFC模型。

小的大基数公理：如果

是不可达基数且集合

是不可达基数

在

中是稳定集，那么

是马洛（Mahlo）基数。

大的大基数公理：一个不可数基数

是可测的，当且仅当它是不平凡嵌套

的一个临界点，其中

为一个传递类，当且仅当

上存在一个

完全的超滤。

定义：论域

上的模糊集合

是用一个从

到实区间

的函数

来刻画的,

叫作模糊集合

的隶属函数，函数值

代表元素

对集合

的隶属度。

模糊集合表示法：给定有限论域

为

上的模糊集合,

记

对

的隶属度，通常按扎德的记法，将

表示为

选择公理是集合论的重要公理之一，由策梅洛于1904年证明良序定理首先清楚地陈述出来。

该公理断言：对任何由两两不相交的非空集组成的集族，都存在一个选择集，它与族中每个集合恰有一个公共元素。

粗略地说，选择公理表明：给定任意个非空集合，可以同时从每个集合中取出一个元素。

由科恩于1963年为证明连续统假设相对于ZF系统的独立性而提出，它是构造公理系统模型的一种方法。

力迫的定义：令

为公式，自由变元都在

中;令M为ZFC的可数传递模型，

为力迫,

并且

则

当且仅当

其中

是

中的

脱殊滤

读作

力迫

集合论是现代数学的基础，是现代数学的基本描述工具。如今，集合论是一门应用广泛的学科，在近代数学中占有较高地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，在金融学、医学、地质学和计算机科学等各个领域具有广泛的应用。

信贷融资是中小型科技企业常用的一种重要融资方式。基于不完全信息理论、协作理论、信贷配给理论及融资优序论，根据中小型科技企业融资过程中所面临的各种风险及风险产生的原因，构建基于综合模糊集合论技术的风险综合评价模型，从融资的程序性、还贷的担保性、核算的科学性及还款利息的可靠性等不同视角进行验证分析，能为中小型科技企业信贷融资提供理论和经验支持。

医生在疾病诊断中首先收集临床资料，如病史、症状、体征、实验室结果等。然后根据这些资料提出可能的疾病组合，并逐步分析排除不可能的疾病，最终确定一个最可能的诊断。这个过程可以用集合论的方法完成。建立病状的概念，将可能的疾病看作集合的元素，并根据集合的运算原理得出诊断结果。应用集合论可以提供科学、规范化的操作模式，统一临床资料，提高诊断准确性，降低误诊率。

随着不同比例尺化探调查的开展，圈出了各种比例尺的化探异常。在普查找矿工作中需要评价这些异常的重现及吻合程度。这些异常很少有完全不重现、完全重叠或完全错开的情况。因此，在对比这些异常时常使用术语“基本重现”“基本吻合”“大致吻合”或“不太吻合”。这些术语只能定性地反映两个异常的重现及吻合情况，没有定量的概念。为了进行定量评价，可以应用模糊数学中的基本原理及其运算，将化探异常看成模糊集合，异常点就是集合的元素。利用集合运算的交集、并集及其比值来定量描述异常的重现率和外部形态的吻合程度，可以将定性对比转化为定量对比，且方法简单易行。

在查新过程中，当保证了检索查全率后，需要将相关文献与查新点进行逐一分析对比，并将其中 相关的技术内容在报告中逐一表述。但在撰写查新报告时，如何明确简练地表述对比分析内容从而构成支持结论的有力论据。将集合论方法对科技查新对比分析过程进行抽象描述，并提出了查新科技要素及其各自不同范畴、集合和交集等概念。应用集合方法讨论查新中的科技要素新颖性分布情况，有利于明确报告的对比分析和结论表述的重点，减少盲目性，提高报告的逻辑性和可读性，以及报告结论的正确性、严密性和客观性。同时理论上证明了科技查新报告可以正确完整地表述科技要素集合的新颖性状态。

新技术的产生既有源于技术原理的创新，也有技术应用领域转移而形成。因此正确地识别和分析技术应用领域转移的特征，有助于探索技术应用领域转移的整体发展动向。基于集合论的技术应用领域转移研究方法，根据学科——领域对应关系，将文献归类到不同学科大类，然后将学科大类视为技术应用领域；再定义技术应用领域文献的最大、最小集合及交叉集合，通过计算各集合内文献量随时间的变化，实现技术应用领域转移研究的目标。

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[2]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 592-593. (2)

[3]姜淑珍主编. 集合论[M]. 长春: 吉林大学出版社, 2009.03: 绪论1-4. (2)

[4]许金兰, 刘娟, 淡志强. 模糊集合论在信贷融资风险评价中的应用[J]. 中国注册会计师, 2018, (04): 105-109.

[5]何仲瑾. 集合论在临床鉴别诊断中的应用[J]. 中国误诊学杂志, 2001,(第10期)

[6]邓志栋. 应用集合论进行异常对比[J]. 湖北地质, 1995, (01): 68-73.

[7]余立. 集合论在科技查新中的应用[J]. 情报科学, 2004,(第6期) (2)

[8]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 634.

[9]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 640-641. (2)

[10]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 593-594. (2)

[11]姜淑珍主编. 集合论[M]. 长春: 吉林大学出版社, 2009.03: 1-2.

[12]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 595-602. (4)

[13]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 603-604.

[14]董延闿. 基础集合论[M]. 北京：北京师范大学出版社, 1988.11: 32-33. (2)

[15]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 607-608.

[16]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 609.

[17]姜淑珍主编. 集合论[M]. 长春: 吉林大学出版社, 2009.03: 37.

[18]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 613-614.

[19]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 623.

[20]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 627-632. (3)

[21]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第4卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 92-93.

[22]朱敏. 集合论公理的选择与证立研究[D]. 南京大学, 2019: 51-54. (5)

[23]苗东升. 中国书籍学术之光文库 模糊学导引[M]. 北京: 中国书籍出版社, 2020.01: 31-32. (2)

[24]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 636-639. (2)

[25]《逻辑学辞典》编辑委员会编. 逻辑学辞典[M]. 长春: 吉林人民出版社, 1983.06: 832.

[26]郝兆宽, 杨跃著. 集合论 对无穷概念的探索[M]. 上海: 复旦大学出版社, 2014.09: 214.

[27]侯惠芳, 张雪萍, 刘素华主编, 王宏勇, 韩萍, 易虹, 丁伟, 杨欣编著. 计算机科学导论[M]. 北京: 北京邮电大学出版社, 2007.11: 124.

[28]吴菲菲, 彭巧语, 黄鲁成. 基于集合论的技术应用领域转移研究[J]. 科学学研究, 2014,(第3期)